다이나믹 프로그래밍

다이나믹 프로그래밍

• 메모리를 적절히 사용하여 수행 시간 효율성을 비약적으로 향상시키는 방법
• 이미 계산된 결과(작은 문제)는 별도의 메모리 영역에 저장하여 다시 계산하지 않도록 한다.
• 다이나믹 프로그래밍의 구현은 일반적으로 두 가지 방식(Top Down, Bottom Up)으로 구성된다.
• 동적 계획법이라고 부른다.

 

다이나믹 프로그래밍의 조건

1. 최적 부분 구조 (Optimal Substructure)

• 큰 문제를 작은 문제로 나눌 수 있으며, 작은 문제의 답을 모아서 큰 문제를 해결할 수 있다.

2. 중복되는 부분 문제 (Overlapping Subproblem)

• 동일한 작은 문제를 반복적으로 해결해야 한다.

 

 

피보나치 수열

피보나치 수열은 아래와 같은 형태의 수열이며, 다이나믹 프로그래밍으로 효과적으로 계산할 수 있음

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, ...

• 점화식이란 인접한 항들 사이의 관계식을 의미
• 피보나치 수열을 점화식으로 표현하면 아래와 같다.

import java.util.*;

public class Main {

    // 피보나치 함수(Fibonacci Function)을 재귀함수로 구현
    public static int fibo(int x) {
        if (x == 1 || x == 2) {
            return 1;
        }
        return fibo(x - 1) + fibo(x - 2);
    }

    public static void main(String[] args) {
        System.out.println(fibo(4));
    }

}

 

 

피보나치 수열의 시간 복잡도 분석

 

피보나치 수열의 효율적인 해법 : 다이나믹 프로그래밍

 

 

 

메모이제이션(Memoization)

한 번 계산한 결과를 메모리 공간에 메모하는 기법

• 같은 문제를 다시 호출하면 메모했던 결과를 그대로 가져온다.
• 값을 기록해 놓는다는 점에서 캐싱(Caching)이라고도 한다.

 

하향식

import java.util.*;

public class Main {

    // 한 번 계산된 결과를 메모이제이션(Memoization)하기 위한 배열 초기화
    public static long[] d = new long[100];

    // 피보나치 함수(Fibonacci Function)를 재귀함수로 구현 (탑다운 다이나믹 프로그래밍)
    public static long fibo(int x) {
        // 종료 조건(1 혹은 2일 때 1을 반환)
        if (x == 1 || x == 2) {
            return 1;
        }
        // 이미 계산한 적 있는 문제라면 그대로 반환
        if (d[x] != 0) {
            return d[x];
        }
        // 아직 계산하지 않은 문제라면 점화식에 따라서 피보나치 결과 반환
        d[x] = fibo(x - 1) + fibo(x - 2);
        return d[x];
    }

    public static void main(String[] args) {
        System.out.println(fibo(50));
    }
}

 

상향식

import java.util.*;

public class Main {

	// DP 테이블 초기화
    public static long[] d = new long[100];

    public static void main(String[] args) {
        // 첫 번째 피보나치 수와 두 번째 피보나치 수는 1
        d[1] = 1;
        d[2] = 1;
        int n = 50; // 50번째 피보나치 수를 계산

        // 피보나치 함수(Fibonacci Function) 반복문으로 구현(보텀업 다이나믹 프로그래밍)
        for (int i = 3; i <= n; i++) {
            d[i] = d[i - 1] + d[i - 2];
        }
        System.out.println(d[n]);
    }
}

 

 

피보나치 수열 : 메모이제이션 동작 분석

 

 

다이나믹 프로그래밍 VS 분할정복

 

 

다이나믹 프로그램이 문제에 접근하는 방법